научно-популярное приложение к газете "Голос Армении"
Menu

В ТЕОРИИ ИГР НЕТ ЕДИНСТВЕННОГО СПОСОБА ДОСТИЧЬ РАВНОВЕСИЯ

Джон Нэш

В экономической теории равновесие Нэша встречается повсеместно, однако новое исследование показывает, что зачастую достичь его невозможно.

В 1950 г. Джон Нэш - математик, по мотивам жизни которого позже напишут книгу и снимут фильм "Игры разума", написал статью, изменившую экономическую теорию. Основная идея была проста и элегантна: она заключалась в том, что в любой конкурентной игре существует равновесие.

РАВНОВЕСИЕ НЭША - НАБОР СТРАТЕГИЙ СОРЕВНОВАНИЯ, В КОТОРОМ НИ ОДИН УЧАСТНИК не может увеличить выигрыш, изменив стратегию, если другие участники не меняют своих. Благодаря этому открытию в 1994 г. Джон Нэш получил Нобелевскую премию по экономике. Концепция равновесия - универсальный инструмент, помогающий понять, как работает стратегическое поведение не только в экономике, но и в психологии, эволюционной биологии и т.д. Другой нобелевский лауреат, Роджер Майерсон, писал: "Открытие концепции равновесия в экономической науке по значимости сопоставимо с открытием двойной спирали ДНК в биологии".

Когда ситуация находится в равновесии, у игроков нет причин менять стратегию. Но как его добиться? В отличие от мяча, который быстро катится с горы и останавливается при подъеме в гору, в теории игр нет простых и понятных сил, направляющих игроков к равновесию Нэша. "Это основная проблема, с которой сталкиваются микроэкономисты, - считает Тим Рафгарден, специалист в области теоретической информатики. - Они применяют концепцию равновесия так, будто игроки могут его достичь, однако не всегда можно быть уверенным, что они находятся именно в равновесии Нэша, а не в близком к нему состоянии". Неразумно ожидать, что люди достигнут равновесия сразу. Это особенно характерно для случаев, когда каждый игрок знает только свою оценку ситуации, не зная, как ее оценивают другие игроки. Однако, если люди играют несколько раундов в одну и ту же игру, вероятно, что они научатся правильным стратегиям и быстро достигнут равновесия. Но многочисленные попытки найти эффективные методы обучения нужным стратегиям не увенчались успехом".

"Экономисты разработали стратегии, помогающие быстро достичь равновесия", - рассказывает Авиад Рубинштейн. Он утверждает, что существует множество довольно простых игр, в которых эти стратегии не работают. Авиад Рубинштейн и Яков Бабиченко, математик из Израильского технологического института в Хайфе, объясняют, почему так происходит. В опубликованном исследовании они доказали, что нет способа подстроить свою стратегию под игру так, чтобы достичь равновесия Нэша со стопроцентной вероятностью.

ЭКОНОМИСТЫ ЧАСТО ИСПОЛЬЗУЮТ РАВНОВЕСИЕ НЭША как доказательную базу предлагаемых экономических реформ. Но новые данные показывают, что нельзя безапелляционно заявлять, что игроки добьются равновесия. Сначала нужно доказать, почему оно достижимо в конкретном случае. Ноам Нисон утверждает: "Если вы хотите доказать, что в вашей игре легко достичь равновесия Нэша, докажите, достижимо ли оно вообще".

Игры со множеством игроков

В некоторых простых играх определить путь к равновесию Нэша легко. Если я предпочитаю китайскую кухню, вы - итальянскую и мы хотим вместе пообедать, то есть два способа достичь равновесия: мы оба идем либо в китайский, либо в итальянский ресторан.

ДАЖЕ ЕСЛИ МЫ НИЧЕГО НЕ ЗНАЕМ О ПРЕДПОЧТЕНИЯХ ДРУГОГО ИГРОКА и не можем сообщить ему нашу стратегию, то через несколько обедов в одиночестве и упущенных возможностей пообщаться поймем предпочтения друг друга и найдем путь к равновесию. Но если 100 человек захотят пообедать вместе, не зная о предпочтениях остальных? В 1950 г. Нэш доказал, что даже в играх со множеством игроков равновесие достижимо, если добавить элемент случайности и предположить, что игроки в 60% случаев выберут китайский ресторан. Но в 2015 г. Нэш погиб в автокатастрофе, так и не предоставив механизм расчета такого равновесия.

Детально изучая доказательство Нэша, Бабиченко и Рубинштейн смогли доказать, что в целом не существует гарантированного метода даже приблизиться к равновесию, пока игроки не раскроют свои предпочтения. А с увеличением их числа затраты времени, требующегося на эту коммуникацию, становятся непомерно высоки.

В игре со 100 участниками существует 2^100 вариантов исхода игры, значит, 2^100 предпочтений, которыми следует поделиться игрокам между собой. Для сравнения: число секунд, прошедших с момента Большого взрыва, составляет лишь около 2^59.

Затруднения в коммуникации означают, что адаптирование стратегии не приведет к эффективному достижению равновесия, по крайней мере в случае некоторых сложных игр. В каждом раунде игроки будут узнавать лишь малую часть новой информации друг о друге и будут счастливы ужинать в одиночестве. Пройдет 2^100 раундов, прежде чем они узнают предпочтения друг друга. "Если время достижения равновесия превосходит возраст Вселенной, то это бессмысленно", - полагает Серджиу Харт из Еврейского университета Иерусалима.

Очевидно, что иногда игрокам для достижения равновесия требуется знать буквально все о ценностях друг друга. Новое исследование показывает, что те же ограничения сохраняются, даже если игроки заинтересованы в достижении хотя бы приблизительного равновесия по Нэшу. Это важное открытие в отношении практического применения, где даже исход, приближенный к равновесию, значит немало.

ОТКРЫТИЕ БАБИЧЕНКО И РУБИНШТЕЙНА НЕ ОЗНАЧАЕТ, ЧТО БОЛЬШАЯ часть или даже все игры подвержены данному ограничению. Оно применимо лишь к некоторым из них. Многие экономисты, специализирующиеся в теории игр, моделируют реальный мир с дополнительной структурой, позволяющей существенно сократить объем обмена информацией. Если каждый из 100 человек выбирает один из двух маршрутов, едва ли ученых будет интересовать выбор каждого отдельно взятого игрока - важно лишь число игроков на том или ином маршруте. Значит, данный набор установок будет симметричен, и потенциально можно будет выразить его во всей полноте за пару грамотно подобранных ходов вместо 2^100.

Экономисты могут применять такие доводы, чтобы обосновать применимость равновесия Нэша в определенных играх. Однако результат нового исследования подразумевает, что подобные суждения должны рассматриваться индивидуально. Нет веских оснований полагать, что это применимо всегда и ко всем играм. Кроме того, хотя многие игры согласуются с подобными упрощениями, эпоха интернета породила множество игр с большим числом игроков - от сайтов знакомств до биржевой торговли онлайн. "В условиях быстрого развития равновесия достичь все сложнее. Изобретая новые игры, мы часто ошибаемся, когда ожидаем его увидеть", - утверждает Нисан.

В реальной жизни люди часто не достигают равновесия, и, по словам экономиста Эндрю Макленнана, исследователи это знают. Он полагает, что экономическая наука не обладает теоретической структурой, задающей уровень точности, а открытия теоретической информатики вроде исследований Бабиченко и Рубинштейна должны стать вдохновением для глубокого изучения вопроса.

Две эти области характеризуются разными мировоззрениями, которые могут препятствовать междисциплинарной дискуссии: экономистам свойственно строить упрощенные модели, чтобы запечатлеть суть сложных взаимодействий, а ученых в области теоретической информатики больше интересует, как поведет себя модель в условиях ее значительного усложнения. "Экономисты должны лучше знать, чем занимается теоретическая информатика", - сетует Макленнан.

Надежный советчик

Новая работа проводит четкую грань между равновесием Нэша и более общим понятием равновесия, появившемся через 24 года после статьи Нэша.

Теория игрВ 1974 г. Роберт Ауманн, лауреат Нобелевской премии в области экономики, предложил понятие "коррелированное равновесие", описывающее сценарий, в котором каждый участник игры получает от достоверного посредника (или коррелирующего устройства) совет для выбора стратегии. Если ни один игрок не получает стимула к отклонению от полученного совета и уверен, что остальные игроки также следуют советам, совет посредника создает коррелированное равновесие.

Это может показаться загадочным мысленным экспериментом, но мы постоянно используем коррелированное равновесие. Ауманн показал, что, когда игроки точно не знают, какой совет получают остальные, и им известно только то, что все эти советы связаны друг с другом, ряд коррелированных равновесий может содержать не просто комбинации равновесий Нэша, в него могут входить формы игры, не являющиеся ими, но иногда приводящие к продуктивным результатам. В играх, где сотрудничество приносит большую прибыль, чем одиночная игра, посредник иногда вовлекает игроков во взаимодействие, не раскрывая, какие советы он дает другим игрокам. Это открытие, признается Майерсон, свалилось на нас, как снег на голову.

И даже если посредник может давать разные советы, ряд коррелированных равновесий игры, который представлен набором линейных уравнений и неравенств, проще поддается математической обработке, чем ряд равновесий Нэша. "Если посмотреть на это с другой стороны, то математика представляется более красивой", - считает Майерсон, который назвал взгляд Нэша на теорию игр одним из величайших научных прорывов ХХ века, однако рассматривает коррелированное равновесие как более естественное понятие, чем равновесие Нэша. Он считал, что если на других планетах существует разумная жизнь, то на большинстве из них коррелированное равновесие обнаружили бы раньше, чем равновесие Нэша.

При повторяющихся раундах игры многие естественные способы, которыми игроки могут воспользоваться для приспособления своих стратегий, сводятся к коррелированному равновесию. Например, подход "минимизации сожалений", суть которого заключается в том, что перед каждым раундом игроки увеличивают возможность использования предложенной стратегии, если сожалеют, что не использовали ее в прошлом. "Минимизация сожалений - метод, схожий с тем, что мы обращаем внимание на то, что сработало в прошлый раз, и иногда добавляем что-нибудь новое", - говорит Рафгарден.

ИССЛЕДОВАНИЯ ПОКАЗАЛИ, ЧТО ПРИ ИСПОЛЬЗОВАНИИ МНОГИХ СПОСОБОВ минимизации сожалений игра приходит к коррелированному равновесию. Удивительно, но после примерно 100 раундов история игры будет выглядеть так же, как если бы посредник давал игрокам советы с самого начала. "Как будто через взаимодействие нашли коррелирующее устройство", - поясняет Константинос Даскалакис из Массачусетского технологического института. Во время игры участники необязательно остаются в коррелированном равновесии: например, после 1000 раундов они могут оказаться в новом виде равновесия, как будто их игрой руководил другой посредник. Процесс похож на реальную жизнь, повторяет Рафгарден, ведь нормы общества, согласно которым устанавливается равновесие, постоянно меняются. Во всех сложных играх, где трудно достичь равновесия Нэша, коррелированное равновесие - "естественный ведущий кандидат" на роль решения, считает Нисан.

По мнению Майерсона, открытие равновесия Нэша раньше коррелированного равновесия - случайность. "Принято считать, что открытия, сделанные раньше, являются основой для последующих. Но кому решать, что есть основа?"

И все же быстрое достижение равновесия не подразумевает, что каждый отдельный раунд игры проходит при коррелированном равновесии, это касается только всей истории игры. Рубинштейн пришел к выводу, что минимизация сожалений не всегда идеальный выбор для разумных игроков в каждом отдельном раунде. Поэтому вопрос "что будет делать разумный игрок?" пока остается без определенного ответа.

Эрика КЛАРРАЙХ, Quanta Magazine, США, ИноСМИ

Печатается с сокращениями

Опубликовано в Лаборатория
Прочитано 152 раз
Оцените материал
(1 Голосовать)
Другие материалы в этой категории: « HOMO NALEDI - ЗАГАДОЧНОЕ ЗВЕНО ЧЕЛОВЕЧЕСКОЙ ЭВОЛЮЦИИ

Оставить комментарий

Убедитесь, что вы вводите (*) необходимую информацию, где нужно
HTML-коды запрещены

Наверх